Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними. Действия с матрицами Понятие матрицы операции над матрицами

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )

Ясно, A"=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a ii =-ã ii (ã ji - комплексно - сопряженное к a ji , т.е. если A=3+2i , то комплексно - сопряженное Ã=3-2i )

Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители

Определение. Матрицей размера m  n , где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a ij , где i - номер строки, а j - номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной .

Определение. Матрица вида:

= E ,

называется единичной матрицей .

Определение. Если a mn = a nm , то матрица называется симметрической .

Пример.
- симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида
называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера . Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c ij = a ij  b ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =  А   В А( ) =  А   А

Пример. Даны матрицы А =
; B =
, найти 2А + В.

2А =
, 2А + В =
.

Операция умножения матриц .

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A  B = C ;
.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно , т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А Е = Е А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A  O = O ; O  A = O ,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB ) = ( A ) B = A ( B ).

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В Т А Т и выполняется равенство:

(АВ) Т = В Т А Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA  detB.

Что такое det будет рассмотрено ниже.

Определение . Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием , если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А =
; В = А Т =
;

другими словами, b ji = a ij .

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC ) T = C T B T A T ,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А =
, В = , С =
и число  = 2. Найти А Т В+  С.

A T =
; A T B =
 =
=
;

C =
; А Т В+  С =
+
=
.

Пример. Найти произведение матриц А = и В =
.

АВ = 
=
.

ВА =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=
, В =

АВ =

=
=
.

Определители (детерминанты).

Определение. Определителем квадратной матрицы А=
называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A =
, где (1)

М 1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =
(2)

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA =
, i = 1,2,…,n . (3)

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М 1к называется дополнительным минором элемента матрицы a 1 k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det A T ;

Свойство 2. det (A  B) = det A  det B.

Свойство 3. det (AB ) = detA  detB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми , если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d 1  d 2 , e = e 1  e 2 , f = det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A  det B = -26.

2- й способ: AB =
, det (AB ) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a ij , где i- номер строки, а j- номер столбца.

Основные действия над матрицами.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной .

Определение. Если = , то матрица называется симметрической .

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Определение. Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единицы:

= E , называется единичной матрицей .

Определение. Матрица, у которой под главной диагональю находятся только нулевые элементы, называется верхней треугольной матрицей. Если у матрицы над главной диагональю находятся только нулевые элементы, то она называется нижней треугольной матрицей.

Определение. Две матрицы называются равными , если они одной размерности и выполняется равенство:

· Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера . Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

С = А + В = В + А.

· Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

· Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

Пример.

· Определение . Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием , если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А Т = ;

другими словами, = .

Обратная матрица .

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Обратная матрица

Может быть построена по следующей схеме:

Если , то матрица называется невырожденной , а в противном случае – вырожденной.

Обратная матрицаможет быть построена только для невырожденных матриц.

Свойства обратных матриц.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным , если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. По большей части мы будем рассматривать матрицы с элементами из некоторого поля, хотя многие предложения сохраняют силу, если в качестве элементов матриц рассматривать элементы ассоциативного (не обязательно коммутативного) кольца.

Чаще всего элементы матрицы обозначаются одной буквой двумя индексами, указывающими «адрес» элемента - первый йндекс дает номер строки, содержащей элемент, второй - номер столбца. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме

Матрицы, вставленные из чисел, естественно возникают при рассмотрении систем линейных уравнений

Входные данные для этой задачи - это множество коэффициентов, естественно составляющих матрицу

и совокупность свободных членов, образующих матрицу , умеющую лишь один столбец. Искомым является набор значений неизвестных, который, как оказывается, удобно представлять тоже в виде матрицы состоящей из одного столбца.

Важную роль играют так называемые диагональные матрицы. Под этим названием подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равными нулю, кроме элементов главной диагонали, т. е. элементов в позициях

Диагональная матрица D с диагональными элементами обозначается

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечениях нескольких выбранных строк матрицы А и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы А. Если - номера выбранных строк и - номера выбранных столбцов, то соответствующая субматрица есть

В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

Матрицы связаны естественным образом с линейной подстановкой (линейным преобразованием) переменных. Под этим названием понимается переход от исходной системы переменных к другой, новой, связанных по формулам

Линейная подстановка переменных задается посредством матрицы коэффициентов

Среди систем линейных уравнений наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Среди линейных подстановок переменных основную роль играют подстановки, в которых число исходных и новых переменных одинаково. В этих ситуациях матрица коэффициентов оказывается квадратной, т. е. имеющей одинаковое число строк и столбцов; это число называется порядком квадратной матрицы.

Вместо того чтобы говорить «матрица, состоящая из одной строки», и «матрица, состоящая из одного столбца», говорят короче: строка, столбец.