Волны на поверхности воды, исследовательская работа. Уравнение бегущей волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор, называется вектором потока. (Для упругих волн – вектор Умова).
Теория про уравнение бегущей волны
Когда мы говорим о движении тела, то имеем в виду перемещение в пространстве его самого. В случае же волнового движения речь идет не о перемещении среды или поля, а о перемещении возбужденного состояния среды или поля. В волне определенное состояние, сначала локализованное в одном месте пространства, передается (перемещается) в другие, соседние точки пространства.
Состояние среды или поля в данной точке пространства характеризуется одним или несколькими параметрами. Такими параметрами, например, в волне, образуемой на струне, является отклонение данного участка струны от положения равновесия (х), в звуковой волне в воздухе — это величина, характеризующая сжатие или расширение , в — это модули векторов и . Важнейшим понятием для любой волны является фаза. Под фазой понимается состояние волны в данной точке и в данный момент времени, описанное соответствующими параметрами. Например, фаза электромагнитной волны задается модулями векторов и . Фаза от точки к точке меняется. Таким обpазом, фаза волны в математическом смысле есть функция координат и времени. С понятием фазы связано понятие волновой поверхности. Это поверхность, все точки которой в данный момент времени находятся в одной и той же фазе, т.е. это поверхность постоянной фазы.
Понятия волновой поверхности и фазы позволяют провести некоторую классификацию волн по характеру их поведения в пространстве и времени. Если волновые поверхности перемещаются в пространстве (например, обычные волны на поверхности воды), то волна называется бегущей.
Бегущие волны можно разделить на: и цилиндрические.
Уравнение бегущей плоской волны
В экспоненциальной форме уравнение сферической волны имеет вид:
где 
– комплексная амплитуда. Везде, кроме особой точки r=0, функция x удовлетворяет волновому уравнению .
Уравнение цилиндрическое бегущей волны:
где r – расстояние от оси.
где 
– комплексная амплитуда.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Плоская незатухающая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты источника a. Напишите уравнение колебаний источника x(0,t), если в начальный момент смещение точек источника максимально. |
| Решение | Запишем уравнение бегущей волны, зная, что она плоская:
Используем в записи уравнения w=, запишем (1.1) в начальный момент времени (t=0): Из условий задачи известно, что в начальный момент смещение точек источника максимально. Следовательно, . Получим: , отсюда в точке, где расположен источник (т.е. при r=0). |
Пове́рхностные акусти́ческие во́лны (ПАВ) - упругие волны , распространяющиеся вдоль поверхности твёрдого тела или вдоль границы с другими средами. ПАВ подразделяются на два типа: с вертикальной поляризацией и с горизонтальной поляризацией (волны Лява ).
К наиболее часто встречающимся частным случаям поверхностных волн можно отнести следующие:
- Волны Рэлея (или рэлеевские), в классическом понимании распространяющиеся вдоль границы упругого полупространства с вакуумом или достаточно разреженной газовой средой.
- на границе твердого тела с жидкостью.
- , бегущая по границе жидкости и твердого тела
- Волна Стоунли , распространяющаяся вдоль плоской границы двух твердых сред, модули упругости и плотности которых не сильно различаются.
- Волны Лява - поверхностные волны с горизонтальной поляризацией (SH типа), которые могут распространяться в структуре упругий слой на упругом полупространстве.
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
✪ Сейсмические волны
✪ Продольные и поперечные волны. Звуковые волны. Урок 120
✪ Лекция седьмая: Волны
Субтитры
В этом видео я хочу немного обсудить сейсмические волны. Запишем тему. Во-первых, они очень интересны сами по себе и, во-вторых, очень важны для понимания строения Земли. Вы уже видели мое видео о слоях Земли, и именно благодаря сейсмическим волнам мы сделали вывод, из каких слоев состоит наша планета. И, хотя обычно сейсмические волны ассоциируются с землетрясениями, на самом деле это любые волны, путешествующие по земле. Они могут возникнуть от землетрясения, сильного взрыва, чего угодно, что способно послать много энергии прямо в землю и камень. Итак, существуют два основных типа сейсмических волн. И мы больше сосредоточимся на одном из них. Первый - поверхностные волны. Запишем. Второй - объемные волны. Поверхностные волны - это просто волны, распространяющиеся по поверхности чего-либо. В нашем случае по поверхности земли. Здесь, на иллюстрации, видно, как выглядят поверхностные волны. Они похожи на рябь, которую можно увидеть на поверхности воды. Поверхностные волны бывают двух типов: волны Рэлея и волны Лява. Я не буду распространяться, но здесь видно, что волны Рэлея движутся вверх и вниз. Вот здесь земля двигается вверх-вниз. Тут движется вниз. Тут - вверх. И тут - снова вниз. Похоже на бегущую по земле волну. Волны Лява, в свою очередь, двигаются в стороны. То есть, вот здесь волна не движется вверх-вниз, а, если посмотреть по направлению волны, она движется влево. Здесь движется вправо. Здесь - влево. Здесь - снова вправо. В обоих случаях, движение волны перпендикулярно направлению ее перемещения. Иногда такие волны называют поперечными. И они, как я уже говорил, похожи на волны в воде. Намного более интересны объемные волны, потому что, во-первых, это самые быстрые волны. И, к тому же, именно эти волны используются для изучения структуры земли. Объемные волны бывают двух типов. Есть P-волны, или первичные волны. И S-волны, или вторичные. Их можно увидеть вот здесь. Такие волны - это энергия, перемещающаяся внутри тела. А не просто по его поверхности. Итак, на данном рисунке, который я скачал из Википедии, видно, как по большому камню бьют молотком. И когда молоток попадает по камню… Давайте я перерисую покрупнее. Здесь у меня будет камень, и я бью его молотком. Он сожмет камень там, куда он попал. Тогда энергия от удара толкнет молекулы, которые врежутся в молекулы по соседству. И эти молекулы врежутся в молекулы за ними, а те, в свою очередь, в молекулы рядом. Получится, что эта сжатая часть камня движется волной. Вот это - сжатые молекулы, они врежутся в молекулы рядом и тогда здесь камень станет плотнее. Первые молекулы, те, которые начали все движение, вернутся на место. Поэтому сжатие сдвинулось, и дальше сдвинется еще. Получается волна сжатия. Вы бьете молотком сюда и получаете меняющуюся плотность, которая движется в направлении волны. В нашем случае молекулы двигаются вперед и назад вдоль одной оси. Параллельно направлению волны. Это - Р-волны. Р-волны могут распространяться в воздухе. По существу, звуковые волны - это волны сжатия. Они могут перемещаться как в жидкостях, так и в твердых веществах. И, в зависимости от среды, они двигаются с разными скоростями. В воздухе они двигаются со скоростью 330 м/с, что не так уж и медленно для повседневной жизни. В жидкости они двигаются на скорости 1 500 м/с. А в граните, из которого состоит большая часть поверхности Земли, они двигаются на скорости 5 000 м/с. Давайте я это запишу. 5 000 метров, или 5 км/с в граните. А S-волны, сейчас я нарисую, потому что эта слишком маленькая. Если ударить молотком сюда, сила удара временно сдвинет камень в сторону. Он немного деформируется и потянет за собой соседний участок камня. Затем этот камень сверху будет утянут вниз, а камень, по которому изначально ударили, вернется вверх. И приблизительно через миллисекунду слой камня сверху немного деформируется вправо. И дальше, с течением времени, деформация будет двигаться вверх. Заметьте, что в этом случае волна тоже движется вверх. Но движение материала теперь не параллельно оси, как в Р-волнах, а перпендикулярно. Эти перпендикулярные волны также называют поперечными колебаниями. Движение частиц перпендикулярно оси движения волны. Это и есть S-волны. Они двигаются чуть медленнее Р-волн. Поэтому, если вдруг случится землетрясение, сначала вы почувствуете Р-волны. А затем, на приблизительно 60% скорости Р-волн придут S-волны. Итак, для понимая структуры Земли важно помнить, что S-волны могут двигаться только в твердых веществах. Запишем это. Вы могли бы сказать, что видели поперечные волны на воде. Но там были поверхностные волны. А мы обсуждаем объемные волны. Волны, которые проходят внутри объема воды. Чтобы было проще это представить, я нарисую немного воды, скажем, вот здесь будет бассейн. В разрезе. Вот как-то так. Да, мог бы и получше нарисовать. Итак, здесь будет бассейн в разрезе, и я надеюсь, что вы поймете, что в нем происходит. И если я сожму часть воды, например, ударив по ней чем-нибудь очень большим, чтобы вода быстро сжалась. Р-волна сможет двигаться, потому что молекулы воды врежутся в молекулы по соседству, которые врежутся в молекулы за ними. И это сжатие, эта Р-волна, будет двигаться в направлении от моего удара. Отсюда видно, что Р-волна может двигаться как в жидкостях, так и, например, в воздухе. Хорошо. И помните, что мы говорим о подводных волнах. Не о поверхностях. Наши волны движутся в объеме воды. Предположим, что мы взяли молоток и ударили по данному объему воды со стороны. И от этого возникнет только волна сжатия в эту сторону. И больше ничего. Поперечной волны не возникнет, потому что у волны нет той эластичности которая позволяет ее частям колебаться из стороны в сторону. Для S-волны нужна такая эластичность, которая бывает только в твердых телах. В дальнейшем мы будем использовать свойства Р-волн, которые могут двигаться в воздухе, жидкости и твердых телах, и свойства S-волн, чтобы узнать, из чего состоит земля. Subtitles by the Amara.org community
Волны Рэлея
Затухающие волны рэлеевского типа
Затухающие волны рэлеевского типа на границе твердого тела с жидкостью.
Незатухающая волна с вертикальной поляризацией
Незатухающая волна с вертикальной поляризацией , бегущая по границе жидкости и твердого тела со скоростью звука в данной среде.
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v . Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.
Механической волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде, который сопровождается передачей энергии колеблющегося тела от одной точки упругой среды к другой.
Частицы среды, в которой распространяется упругая волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны.
1. Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волн.
(волна на водной поверхности, волна вдоль шнура).
2. Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны.
(звуковые волны, колебания поршня в трубке, заполненной газом или жидкостью, вызывают продольную упругую волну).
Упругие поперечные волны могут возникать лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны (или волновым фронтом ).
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.
Линия, перпендикулярная волновой поверхности называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.
Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания частиц среды, называется длиной волны:
v (м),
где v скорость волны, T – период колебаний.
Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющихся с разностью фаз, равной 2 .
Скорость волны v .
Гармоническая волна
Гармонической волной называется линейная монохроматическая волна, распространяющаяся в бесконечной динамической системе. В распределённых системах общий вид волны задается уравнением:
где А – некоторая постоянная амплитуда волнового процесса, определяемая параметрами системы, частотой колебаний и амплитудой возмущающей силы; w = 2p/Т = 2pn – круговая частота волнового процесса, Т – период гармонической волны, n – частота; k = 2p/l = w/с – волновое число, l – длина волны, – скорость распространения волны; – начальная фаза волнового процесса, определяемая в гармонической волне закономерностью воздействия внешнего возмущения. Фазовая скорость этой волны даётся выражением
Бегущая волна
Бегущая волна – волна, которая при распространении в среде переносит энергию (в отличие от стоячей волны). Примеры: упругая волна в стержне, столбе газа, жидкости, электромагнитная волна вдоль длинной линии, в волноводе.
Бегущая гармоническая волна – частный случай стационарных бегущих волн, представляет собой распространяющиеся синусоидальные колебания, это простейшее волновое движение.
Звук
Колебания среды, воспринимаемые органом слуха, называются звуком.
Звук , в широком смысле – упругие волны, распространяющиеся в какой-либо упругой среде и создающие в ней механические колебания; в узком смысле – субъективное восприятие этих колебаний специальными органами чувств животных или человека.
Раздел физики, занимающийся изучением звуковых явлений, называется акустикой.
Звуковая волна – упругая продольная волна, представляющая собой зоны сжатия и разряжения упругой среды (воздуха), передающаяся на расстояние с течением времени.
Звуковые волны делятся:
· слышимый звук – от 20 Гц (17 м) - до 20 000 Гц (17 мм);
· инфразвук – ниже 20 Гц;
· ультразвук – выше 20 000 Гц.
Скорость звука зависит от упругих свойств среды и от температуры, например:
в воздухе v = 331 м/с (при t = 0 о С) и v = 3317 м/с (при t = 1 0 С);
в воде v = 1400 м/с;
в стали v =5000 м/с.
Звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом, называется музыкальным тоном.
Каждому музыкальному тону (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.
Интерференция волн
Если в среде распространяется несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Волны накладываются друг на друга , не возмущая (не искажая друг друга ). Это и есть принцип суперпозиции волн.
Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции.
Интерференция волн (от лат. inter - взаимно, между собой и ferio- ударяю, поражаю)- взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве . Сопровождается чередованием максимумов и минимумов (пучностей) интенсивности в пространстве.
Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн. При интерференции энергия волн перераспределяется в пространстве. Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.
Необходимые условия для наблюдения интерференции:
1) волны должны иметь одинаковые (или близкие) частоты, чтобы картина, получающаяся в результате наложения волн, не менялась во времени (или менялась не очень быстро, что бы её можно было успеть зарегистрировать);
2) волны должны быть однонаправленными (или иметь близкое направление); две перпендикулярные волны никогда не дадут интерференции (попробуйте сложить две перпендикулярные синусоиды!). Иными словами, складываемые волны должны иметь одинаковые волновые векторы (или близконаправленные).
Первое условие иногда называют временной когерентностью
,
второе – пространственной когерентностью
.
Интерференция характерна для волн любой природы.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной . Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.
Интерференция волн на поверхности воды:
Стоячие волны
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.
Стоячая волна является частным случаем бегущей волны с .
То есть, две одинаковые периодические бегущие волны (в рамках справедливости принципа суперпозиции), распространяющиеся в противоположных направлениях, образуют стоячую волну.
При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.
Любое локальное нарушение горизонтальности поверхности жидкости приводит к появлению волн, которые распространяются по поверхности и быстро затухают с глубиной. Возникновение волн происходит из-за совместного действия силы тяжести и силы инерции (гравитационные гидродинамические волны) или силы поверхностного натяжения и силы инерции (капиллярные волны).
Приведем ряд результатов по гидродинамике поверхностного волнения жидкости, которые понадобятся нам в дальнейшем . Можно существенно упростить задачу, если считать жидкость идеальной; учет диссипации необходим главным образом для капиллярных и коротких гравитационных волн.
Считая смещения частиц жидкости малыми, можно ограничиться линейной задачей и пренебречь в уравнении Эйлера нелинейным членом что соответствует малости амплитуды волны по сравнению с ее длиной X. Тогда для несжимаемой жидкости волновое движение на ее поверхности без учета сил поверхностного натяжения определяется такой системой уравнений для потенциала (напомним, что :
Направлена вертикально вверх и соответствует невозмущенной поверхности жидкости).
Для неограниченной поверхности жидкости, глубина которой значительно больше длины волны, можно искать решение задачи в виде распространяющейся в положительном направлении х и затухающей с глубиной плоской неоднородной волны:
где - частота волны и волновое число, где - фазовая скорость. Подставляя это значение потенциала в уравнение (6.1), а также учитывая, что решения имеют смысл для , получаем выражение для потенциала:
а удовлетворяя граничному условию на поверхности жидкости дисперсионное уравнение
Таким образом, групповая скорость распространения гравитационной волны
тогда как фазовая скорость такой волны
Как видно, гравитационные волны обладают дисперсией; с увеличением длины волны их фазовая скорость растет.
Интересен вопрос о том, каково распределение скоростей частиц жидкости в волне; оно находится дифференцированием потенциала (6.3) по х.
Рис. 1.4. Дисперсионная кривая для гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды в области, где существенны и g, и а.
Рассмотрение показывает, что частицы жидкости в волне описывают движение приблизительно по окружности (вокруг своих равновесных точек ), радиус которых экспоненциально спадает с глубиной. На глубине, равной одной длине волны, ее амплитуда примерно в 535 раз меньше, чем вблизи поверхности. Приведенные результаты относились к волнам на глубокой воде, когда где h - глубина жидкости. Если имеет место противоположный случай (например, волны распространяются в канале конечной, но малой глубины), то
Как видно, такие волны дисперсией не обладают.
С учетом капиллярной силы Лапласа, обусловленной поверхностным натяжением 0,
т. е., в отличие от гравитационных, скорость капиллярных волн растет с уменьшением длины волны. Совместное действие силы тяжести и силы поверхностного натяжения определяется таким дисперсионным уравнением (глубокая вода):
На рис. 1.4 показана зависимость фазовой скорости распространения волн на поверхности жидкости от длины волны для воды согласно выражению (6.9). Из этого рисунка видно, что при см имеет место минимум скорости поверхностных волн, являющихся смешанными гравитационно-капиллярными волнами..
Приведенные результаты относились к одномерным линейным волнам в отсутствие диссипации. Кроме того, считалось, что волны регулярные и распространяются в одном направлении. Волны, возникающие при движении корабля в спокойной воде или при подходе к мелкому берегу, действительно представляют собой
регулярные возмущения. Волны же на поверхности жидкости, возникающие под действием ветра, преимущественно случайные - они движутся в разных направлениях и имеют разные частоты и амплитуды; именно такую картину мы наблюдаем, находясь на корабле в открытом море в ветренную погоду.
Затухание гравитационных волн с длинами волн более метра мало, но оно все же значительно больше, чем это следует из линейной теории. Это расхождение, очевидно, вызвано процессами, связанными с нелинейностью при распространении гравитационных и капиллярных волн. Так, если одиночная волна распространяется на мелкой воде с фазовой скоростью , то такая волна не обладает дисперсией. Ее профиль по мере распространения становится круче благодаря тому, что верхние частицы среды, для которых глубина h больше, чем для нижних частиц, будут двигаться с большей скоростью, согласно (6.7), и волна начнет захлестываться; при подходе к берегу волна обрушивается на него. Эффект захлестывания усиливается еще и потому, что при уменьшении глубины h возрастает амплитуда волны по закону сохранения лотока энергии плотность энергии возрастает из-за уменьшения поперечного сечения слоя воды. С ростом же нелинейные эффекты проявляются еще сильнее. Процесс «укручения» волн при их распространении происходит и на глубокой воде вследствие нелинейности уравнений движения. Теория нелинейных волн на ловерхности жидкости получила большое развитие в последнее время, хотя первые работы в этом направлении были сделаны еще в конце прошлого века.
Если имеется несколько волн, они нелинейно взаимодействуют друг с другом; принцип суперпозиции для волн конечной амплитуды уже не соблюдается. Условия нелинейного взаимодействия гравитационных волн, благодаря их дисперсионным свойствам, отличаются интересными особенностями, на которых мы здесь не имеем возможности остановиться. Отметим лишь, что реально существующее взаимодействие случайных волн конечной амплитуды в принципе объясняет значительно большее затухание волн на поверхности, чем это предсказывает линейная теория. Действует механизм поглощения за счет нелинейного взаимодействия; энергия из области малых волновых чисел (длинные волны) перекачивается в области все меньших длин волн и, наконец, - в капиллярную область спектра, где она в конечном счете диссипируется за счет вязкости, переходя в тепло .
В гл. 3 мы будем иметь дело с нелинейными звуковыми волнами и еще вернемся к вопросам взаимодействия волн на поверхности жидкости.
ВОЛНЫ
НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
- волновые движения жидкости, существование к-рых связано с изменением формы
её границы. Наиб. важный пример - волны на свободной поверхности водоёма (океана,
моря, озера и др.), формирующиеся благодаря действию сил тяжести и поверхностного
натяжения. Если к--л. внеш. воздействие (брошенный камень, движение судна, порыв
ветра и т. п.) нарушает равновесие жидкости, то указанные силы, стремясь восстановить
равновесие, создают движения, передаваемые от одних частиц жидкости к другим,
порождая волны. При этом волновые движения охватывают, строго говоря, всю толщу
воды, но если глубина водоёма велика по сравнению с длиной волны, то эти движения
сосредоточены гл. обр. в приповерхностном слое, практически не достигая дна
(короткие волны, или волны на глубокой воде). Простейший вид таких волн - плоская
синусоидальная волна, в к-рой поверхность жидкости синусоидально "гофрирована"
в одном направлении, а все возмущения физ. величин, напр. вертик. смещения частиц
, имеют
вид, где
х
- горизонтальная, z - вертикальная координаты,
- угл. частота, k
- волновое число, А
- амплитуда колебаний частиц,
зависящая от глубины z
. Решение ур-ний гидродинамики несжимаемой жидкости
вместе с граничными условиями (пост. давление на поверхности и отсутствие
возмущений на большой глубине) показывает, что 
, где A 0
- амплитуда смещения поверхности. При этом каждая
частица жидкости движется по окружности, радиус к-рой равен A
(z) (рис.,
а). Т.о., колебания затухают в глубь жидкости по экспоненте, и тем быстрее,
чем короче волна (больше k
). Величины
связаны дисперсионным уравнением
где
- плотность жидкости, g
- ускорение свободного падения, -
коэф. поверхностного натяжения. Из этой ф-лы определяются фазовая скорость
, с к-рой движется точка с фиксир. фазой (напр., вершина волны), и групповая
скорость - скорость
движения энергии. Обе эти скорости в зависимости от k
(или длины волны
) имеют
минимум; так, мин. значение фазовой скорости волн на чистой (лишённой загрязняющих
плёнок, влияющих на поверхностное натяжение) воде достигается при 1,7
см и равно 23 см
/c
. Волны гораздо меньшей длины наз. капиллярными, а более длинные - гравитационными,
т. к. на их распространение преимуществ. влияние оказывают соответственно силы
поверхностного натяжения и тяжести. Для чисто гравитац. волн 
. В смешанном случае говорят о гравитац--капиллярных волнах.
Траектории движения частиц воды в синусоидальной волне: а - на глубокой, б - на мелкой воде.
В общем случае на характеристики
волн влияет полная глубина жидкости H
. Если вертик. смещения жидкости
у дна равны нулю (жёсткое дно), то в плоской синусоидальной волне амплитуда
колебаний меняется по закону:
, а дисперс. ур-ние волн в водоёме конечной глубины (без учёта вращения Земли)
имеет вид
Для коротких волн
это ур-ние совпадает с (1). Для длинных волн, или волн на мелкой воде
, если можно пренебречь эффектами капиллярности (для длинных волн они обычно
существенны только в случае тонких плёнок жидкости), оно приобретает вид
В такой волне фазовая и групповая скорости равны одной и той же величине
не зависящей от частоты. Это значение скорости наибольшее для гравитац. волн
в данном водоёме; в самом глубоком месте океана (H
=11 км) оно 330
м/с. Движение частиц в длинной волне происходит по эллипсам, сильно вытянутым
в горизонтальном направлении, причём амплитуда горизонтальных движений частиц
почти одинакова по всей глубине (рис., б)
.
Перечисленными свойствами
обладают только волны достаточно малой амплитуды (много меньшей как длины волны,
так и глубины водоёма). Интенсивные нелинейные волны имеют существенно несинусоидальную
форму, зависящую от амплитуды. Характер нелинейного процесса зависит от соотношения
между длиной волны и глубиной водоёма. Короткие гравитац. волны на глубокой
воде приобретают заострённые вершины, к-рые при определ. критич. значении их
высоты обрушиваются с образованием капиллярной "ряби" или пенных
"барашков". Волны умеренной амплитуды могут иметь стационарную форму,
не изменяющуюся при распространении. Согласно теории Герстнера, в нелинейной
стационарной волне частицы по-прежнему движутся по окружности, поверхность же
имеет форму трохоиды, к-рая при малой амплитуде совпадает с синусоидой, а при
нек-рой макс. критич. амплитуде, равной
, превращается в циклоиду, имеющую на вершинах "острия". Более близкие
к данным наблюдений результаты даёт теория Стокса, согласно к-рой частицы в
стационарной нелинейной волне движутся по незамкнутым траекториям, т. е. "дрейфуют"
в направлении распространения волны, причём при критич. значении амплитуды (несколько
меньшем ) на вершине
волны появляется не "остриё", а "излом" с углом 120°.
У длинных нелинейных волн
на мелкой воде скорость движения любой точки профиля растёт с высотой, поэтому
вершина волны догоняет её подножие; в результате крутизна переднего склона волны
непрерывно увеличивается. Для относительно невысоких волн этот рост крутизны
останавливает дисперсия, связанная с конечностью глубины водоёма; такие волны
описываются Кортевега-де Фриса уравнением
. Стационарные волны на мелководье
могут быть периодическими или уединёнными (см. Солитон
); для них
также существует критич. высота, при к-рой они обрушиваются. На распространение
длинных волн существ. влияние оказывает рельеф дна. Так, подходя к пологому
берегу, волны резко тормозятся и обрушиваются (прибой); при входе волны из моря
в русло реки возможно образование крутого пенящегося фронта - бора, продвигающегося
вверх по реке в виде отвесной стены. Волны цунами в районе очага землетрясения,
их возбуждающего,
почти незаметны, однако выходя на сравнительно мелководную прибрежную область
- шельф, они иногда достигают большой высоты, представляя грозную опасность
для береговых поселений.
В реальных условиях В.
на п. ж. не являются плоскими, а имеют более сложную пространственную структуру,
зависящую от характеристик их источника. Напр., упавший в воду камень порождает
круговые волны (см. Цилиндрическая волна
).Движение судна возбуждает
корабельные волны; одна система таких волн расходится от носа судна в виде "усов"
(на глубокой воде угол между "усами" не зависит от скорости движения
источника и близок к 39°), другая - движется за его кормой в направлении
движения судна. Источники длинных волн в океане - силы притяжения Луны и Солнца,
порождающие приливы, а также подводные землетрясения и Извержения вулканов -
источники волн цунами.
Сложную структуру имеют
ветровые волны, характеристики к-рых определяются скоростью ветра и временем
его воздействия на волну. Механизм передачи энергии от ветра к волне связан
с тем, что пульсации давления в потоке воздуха деформируют поверхность. В свою
очередь эти деформации влияют на распределение давления воздуха вблизи водной
поверхности, причём эти два эффекта могут усиливать друг друга, и в результате
амплитуда возмущений поверхности нарастает (см. Автоколебания
). При
этом фазовая скорость возбуждаемой волны близка к скорости ветра; благодаря
такому синхронизму пульсации воздуха действуют "в такт" с чередованием
возвышений и впадин (резонанс во времени и пространстве). Это условие может
выполняться для волн разных частот, бегущих в разл. направлениях по отношению
к ветру; получаемая ими энергия затем частично переходит и к другим волнам за
счёт нелинейных взаимодействий (см. Волны)
. В результате развитое волнение
представляет собой случайный процесс, характеризуемый непрерывным распределением
энергии по частотам и направлениям (пространственно-временным спектром). Волны,
уходящие из области действия ветра (зыбь), приобретают более регулярную форму.
Волны, аналогичные В. на
п. ж., существуют и на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (с.м.
Внутренние волны
).
В океане волны изучаются
разл. методами с помощью волнографов, следящих за колебаниями поверхности воды,
а также дистанц. методами (фотографирование поверхности моря, использование
радио- и гидролокаторов) - с судов, самолётов и ИСЗ.
Лит.: Баском В., Волны и пляжи, [пер. с англ.], Л., 1966; Tриккер Р., Бор, прибой, волнение и корабельные волны, [пер. с англ.], Л., 1969; Уизем Д ж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977; Физика океана, т. 2 - Гидродинамика океана, M., 1978; Кадомцев Б. Б., Pыдник В. И., Волны вокруг нас, M., 1981; Лайтхилл Дж., Волны в жидкостях, пер. с англ., M., 1981; Ле Блон П., Mайсек Л., Волны в океане, пер. с англ., [ч.] 1-2, M., 1981. Л. А. Островский .